有限数学示例

$h (x) = {(3 x - 3)}^{7}$

解题步骤 1

将 $h (x) = {(3 x - 3)}^{7}$ 写为等式。

$y = {(3 x - 3)}^{7}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = {(3 y - 3)}^{7}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 ${(3 y - 3)}^{7} = x$ 。

${(3 y - 3)}^{7} = x$

解题步骤 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 y - 3 = \sqrt[7]{x}$

解题步骤 3.3

在等式两边都加上 $3$ 。

$3 y = \sqrt[7]{x} + 3$

解题步骤 3.4

将 $3 y = \sqrt[7]{x} + 3$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $3 y = \sqrt[7]{x} + 3$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

用 $3$ 除以 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1$

解题步骤 4

Replace $y$ with $h^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$h^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1$

解题步骤 5

验证 $h^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1$ 是否为 $h (x) = {(3 x - 3)}^{7}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $h^{- 1} (h (x)) = x$ 和 $h (h^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $h^{- 1} (h (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$h^{- 1} (h (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $h$ 的值代入 $h^{- 1}$ 来计算 $h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7})$ 。

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{\sqrt[7]{{(3 x - 3)}^{7}}}{3} + 1$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{3 x - 3}{3} + 1$

解题步骤 5.2.3.1.2

从 $3 x - 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{3 (x) - 3}{3} + 1$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{3 (x) + 3 (- 1)}{3} + 1$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

从 $3 (x) + 3 (- 1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{3 (x - 1)}{3} + 1$

解题步骤 5.2.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

约去公因数。

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = \frac{3 (x - 1)}{3} + 1$

解题步骤 5.2.3.2.2

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = x - 1 + 1$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$h^{- 1} ({(3 x - 3)}^{7}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $h (h^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$h (h^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $h^{- 1}$ 的值代入 $h$ 来计算 $h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1)$ 。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(3 (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) - 3)}^{7}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(3 (\frac{\sqrt[7]{x}}{3}) + 3 \cdot 1 - 3)}^{7}$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(3 (\frac{\sqrt[7]{x}}{3}) + 3 \cdot 1 - 3)}^{7}$

解题步骤 5.3.3.2.2

重写表达式。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(\sqrt[7]{x} + 3 \cdot 1 - 3)}^{7}$

解题步骤 5.3.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(\sqrt[7]{x} + 3 - 3)}^{7}$

解题步骤 5.3.4

化简项。

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解题步骤 5.3.4.1

合并 $\sqrt[7]{x} + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(\sqrt[7]{x} + 0)}^{7}$

解题步骤 5.3.4.1.2

将 $\sqrt[7]{x}$ 和 $0$ 相加。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {\sqrt[7]{x}}^{7}$

解题步骤 5.3.4.2

将 ${\sqrt[7]{x}}^{7}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{7}}$ 。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

解题步骤 5.3.4.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4.2.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $7$ 。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = x^{\frac{7}{7}}$

解题步骤 5.3.4.2.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.4.1

约去公因数。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = x^{\frac{7}{7}}$

解题步骤 5.3.4.2.4.2

重写表达式。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = x$

解题步骤 5.3.4.2.5

化简。

$h (\frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1) = x$

解题步骤 5.4

由于 $h^{- 1} (h (x)) = x$ 和 $h (h^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $h^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1$ 为 $h (x) = {(3 x - 3)}^{7}$ 的反函数。

$h^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{x}}{3} + 1$

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